探究抓牌游戏的数学奥秘

一、问题的提出
前几天，我和几个同学在一起玩一个非常有趣的抓牌游戏；它的游戏规则是这样的：54张扑克牌，两人轮换抓，一次可抓1到4张，最后一张让谁抓到谁就输；其中有一位同学多次胜出，可他也讲不清胜出的道理。我想，有没有保持永远胜出的办法呢？这其中又有什么规律吗？是否蕴含着什么数学的奥秘？
二、分析与探究
怎样保持永远胜出呢？我反复多次抓牌练习、思考；
根据我们集体活动的经验得出：在剩最后5张时，先抓的人抓走4张剩下1张就会赢；而在剩最后6张时，谁先抓谁就输。为什么剩最后6张时谁先抓谁就输呢？我思索良久，觉得还是应该动笔在草稿纸列出了所有的可能比较好；当纸牌有6张时，若第一个人抓1张，第二个人抓4张，剩下1张，第一个人只能抓走最后1张就输了；若第一个人抓2张，第二个人抓3张，剩下1张，第一个人只能抓走最后1张就输了；若第一个人抓3张，第二个人抓2张，剩下1张，第一个人只能抓走最后1张就输了；若第一个人抓4张，第二个人抓1张，剩下1张，第一个人只能抓走最后1张就输了。这样四种情况一分类，我就发现第二个人赢的方法就是所抓的牌数给与第一个人凑成5张，剩下最后一张让第一个人非抓不可。随后我又发现剩下最后7张牌时第一个人先抓1张、最后8张牌时第一个人先抓2张、最后9张牌时第一个人先抓3张、最后10张牌时第一个人先抓4张，这样先抓的人若再抓牌时只要与对方抓的牌数凑成5张则一定会赢；但剩下11张牌时，无论先抓的人抓几张，只要对方所抓的牌数与先抓的人凑成5张，则先抓的人一定会输；又发现剩下最后牌数12张时第一个人先抓1张、最后13张时第一个人先抓2张、最后14张时第一个人先抓3张、最后15张时第一个人先抓4张，这样若再抓牌时先抓的人所抓的牌数只要与对方的牌数凑成5张则一定会赢；但剩下最后16张时，无论先抓的人抓几张牌，只要对方所抓的牌数与先抓的人的牌数凑成5张，则先抓的人一定会输。
这样我就发现了一个有趣的规律，当牌数是6张、11张、16张、…时，无论先抓的人抓几张，只要对方所抓的牌数与他的牌数凑成5张，则先抓的人一定会输；而其它牌数先抓的人都有办法必赢。因为54÷5=10…4，同以上的9张牌和14张牌，所以我先抓3张牌，第二次抓牌时我只要与对方所抓的牌数凑成5张，那么到最后必定只剩下1张让对方抓走，我就可保持永远胜出，实践证明正确。
通过以上研究得到这样的结论：若游戏规则是“两人轮换抓，一次可抓1到4张，最后一张让谁抓到谁就输”；那么当扑克牌张数减去1的差能被5整除时，先抓的人必输；当扑克牌张数减去1的差不能被5整除时，先抓的人必赢。
三、问题的拓展
结论的发现令我欣喜若狂，我想如果也是54张扑克牌，若改变游戏规则如：两人轮换抓，一次可抓1到5张，最后一张让谁抓到谁就输；有没有保持永远胜出的办法呢？
结论显而易见，先抓的人只要先抓5张牌，无论后抓的人抓几张，接下来先抓的人所抓的牌数只要与后抓的人的牌数凑成6张，剩下最后一张让后抓的人抓走，就可保持永远胜出。
那么对于这类问题有没有其它的求解方法呢？
我豁然开朗，决定试一试倒推法。为了叙述方便，把这54张扑克牌编上号，分别为1～54号。抓扑克牌时先抓取序号小的牌，后抓序号大的牌。第一个人为了取胜，必须把54号扑克牌留给对方，因此第一个人在最后一次抓扑克牌时，必须使他自己抓到牌中序号最大的一张是53（也许他抓的扑克牌不止一张）。为了保证能做到这一点，就必须使对方最后第二次所抓的扑克牌的序号为49（=53-4）～52（=53-1）。因此，第一个人在最后第二次抓扑克牌时，必须使他自己所抓的扑克牌中序号最大的一个是48。为了保证能做到这一点，就必须使对方最后第三次所抓扑克牌的序号为44（=48-4）～47（=48-1）。因此，第一个人在最后第三次抓牌时，必须使他自己抓牌中序号最大的一个是43，…，把第一个人每次所抓的扑克牌中的最大序号倒着排列起来：53、48、43、…，观察这一数列，发现这是一等差数列，公差d=5，且这些数被5除都余3。因此，第一个人第一次抓牌时应抓1号、2号、3号等3张牌，然后对方抓a张牌，因为a+（5-a）=5，所以为了确保第一个人从一个被5除余3的数到达下一个被5除余3的数，第一个人就应抓5-a张牌。这样就能保证第一个人必胜。
四、问题的启示
上面这个游戏求解过程中体验到两种数学思想方法，首先是从特殊到一般、简单到复杂的归纳递推方法，其次是采用倒推的逆向思维方法；我深深感到它们绝妙无比，这又不禁使我联想到在课外做到的两道有趣的习题：
1、平面上5条直线最多能把圆的内部分成几部分？平面上100条直线最多能把圆的内部分成几部分？
分析：如果直接画图解答，那么寻求问题的答案就显得非常困难；如果是“退”到问题最简单情况开始观察，逐步归纳并猜想一般的递推公式，问题就迎刃而解。
解： 
假设用ak表示k条直线最多能把圆的内部分成的部分数。这里k＝0，1，2，….如图可见。a0＝1，a1=a0+1＝2，a2=a1＋2=4， a3=a2＋3=7，a4=a3+4＝11，…
归纳出递推公式an+1＝an+n.即画第n＋1条直线时，最多增加n部分.原因是这样的：第一条直线最多把圆分成两部分，故a1＝2。当画第二条直线时要想把圆内部分割的部分尽可能多，就应和第一条直线在圆内相交，交点把第二条直线在圆内部分分成两条线段，而每条线段又把原来的一个区域划分成两个区域，因而增加的区域数是2，正好等于第二条直线的序号。同理，当画第三条直线时，要想把圆内部分割的部分数尽可能多，它就应和前两条直线在圆内各有一个交点，两个交点把第三条线在圆内部分成三条线段，而每条线段又把原来一个区域划分成两个区域，因而增加的区域部分数是3，正好等于第三条直线的序号，….这个道理适用于任意多条直线的情形；所以递推公式an+1＝an+n是正确的。这样就易求得5条直线最多把圆内分成： a5=a4+5＝11+5＝16（部分）。
要想求出100条直线最多能把圆内分成多少区域，不能直接用上面公式了，可把上面的递推公式变形：
∵an=an-1+n=an-2＋（n-1）＋n=an-3+（n-2）＋（n-1）+n=…=1+1+2+3+4+…+100=1+，∴an=1+=1+=5051
2、甲、乙、丙三人各有铜钱若干枚，开始，甲把自己的铜钱拿出一部分分给了乙、丙，使乙、丙的铜钱数各增加了一倍；后来，乙也照着甲的方法做，拿出自己的一部分给甲和丙，使甲、丙的铜钱数各增加了一倍；最后，丙也照着这样的方法做，使甲、乙的铜钱数各增加了一倍；这时三人的铜钱数都是8枚。问原来甲、乙、丙三人各有铜钱多少枚？
分析：我们往往考虑常规的方法，直接列算式或列方程解答，可是却非常繁琐复杂；如果能从结果出发逆向思考，利用倒推法就能轻易求的结果。
解：根据最后三人的铜钱数都是8枚，我们来列表倒推还原：
 
甲88÷2=44÷2=22+7+4=13
乙88÷2=44+2+8=1414÷2=7
丙88+4+4=1616÷2=88÷2=4
 
答：原来甲有铜钱13枚，乙有铜钱7枚，丙有铜钱4枚。
综上两题所述，这两种数学思想方法无论在理论或实践中都有广泛的应用，具有很高的研究价值。
五、我的感想
从数学的角度对这个游戏的探究，使我获益匪浅。抓牌游戏让我明白：从特殊到一般、简单到复杂的归纳递推方法，以及采用倒推的逆向思维方法，这两种数学思想方法是解决疑难问题的两把金钥匙，只要你善于思考，学会运用，许多困难都会迎刃而解。
游戏中有数学，生活中无处不存在着数学，数学就像万花筒，充满神奇的力量，有无穷的奥妙，我相信只要你关心她，她就能深深吸引你。

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